Прямая AB перпендикулярна прямым BD и BC, принадлежащим плоскости α. Найдите длину наклонной AC, если AD + AC = 15, BD = 7, BC = 2.
Ответы
Ответ:
Длина наклонной АС = 6.
Пошаговое объяснение:
ДАНО:
АВ ⊥ ВD
АВ ⊥ ВС
ВD ⊂ α, ВС ⊂ α
АD + АС = 15
ВD = 7
ВС = 2
НАЙТИ: АС - ?
РЕШЕНИЕ:
Поскольку АВ ⊥ ВD и АВ ⊥ ВС, образуются два прямоугольных треугольника с общим катетом АВ.
Пусть АС = x, тогда из условия АD + АС = 15
АD = 15 - АС = 15 - x
Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Из треугольника ABC (∠B = 90°) по теореме Пифагора найдем АВ²:
АВ² = АС² - ВС²
АВ² = x² - 2²
АВ² = x² - 4
Из треугольника ABD (∠B = 90°) по теореме Пифагора найдем АВ²:
АВ² = AD² - BD²
АВ² = (15 - x)² - 7²
АВ² = 225 - 30x + x² - 49
АВ² = x² - 30x + 176
В полученных равенствах левые части равны, значит мы можем приравнять их правые части:
x² - 4 = x² - 30x + 176
x² - x² + 30x = 4 + 176
30x = 180
x = 180 : 30
x = 6
То есть длина наклонной АС = 6.
