Question

найти НОД числа, десятичная запись которого состоит из 100 единиц и числа запись которого состоит из 60 единиц​

Answer 1

Будем пользоваться тем, что $\gcd(a,b) = \gcd(a-b,b),\; a\geq b$, поэтому $\gcd(\underbrace{1\ldots1}_{100},\underbrace{1\ldots1}_{60}) = \gcd(10^{60}\cdot\underbrace{1\ldots1}_{40},\;\underbrace{1\ldots1}_{60})$. Поскольку числа из единиц взаимно просты со степенями десяти (поскольку ни на $2$, ни на $5$ числа такого вида не делятся), то на степень десятки можно <<забить>>, получив $\gcd(\underbrace{1\ldots1}_{40},\underbrace{1\ldots1}_{60})$. Ну а теперь ясно, куда это движется, остается вычислить НОД $40$ и $60$: $\gcd(\underbrace{1\ldots1}_{100},\underbrace{1\ldots1}_{60}) = \underbrace{1\ldots1}_{\gcd(40,60)} = \underbrace{1\ldots1}_{20}$. Вообще, в самом общем виде $\gcd(\underbrace{1\ldots1}_{x},\underbrace{1\ldots1}_{y}) = \underbrace{1\ldots1}_{\gcd(x,y)}$.