Question

Архипелаг состоит из нескольких малых островов и одного большого. Было решено проложить между островами подводные коммуникационные кабели так, чтобы большой остров соединялся с каждым малым островом двумя кабелями, а любые два малых острова были соединены одним кабелем. К 1 августа были проложены все кабели между малыми островами и несколько (не менее двух) кабелей, ведущих на большой остров, всего 46 кабелей. Сколько всего островов в архипелаге?​

Answer 1

Пусть в архипелаге x малых островов. Между малыми островами по условию проложены  $\dfrac{x(x-1)}{2}$ кабелей (в самом деле: от каждого малого острова идет x-1 кабель, умножаем на x,  чтобы найти общее число кабелей. Но каждый кабель был посчитан дважды). Кроме того, проложены $y$ кабелей к большому острову; $2\le y\le 2x.$

По условию

$\dfrac{x(x-1)}{2}+y=46.$

Поскольку $y\ge 2,$.  $\dfrac{x(x-1)}{2}\le 46-2=44\Rightarrow x^2-x\le 88.$ Напомним, что  $x$ - натуральное число, то есть $x\ge 1,$  поэтому функция $z=x^2-x$  монотонно возрастает (график этой функции - парабола с вершиной при $x=1/2$ и ветвями, направленными вверх). При этом $z(9)=9^2-9=72<88;\ z(10)=10^2-10=90>88\Rightarrow x\in [1;9].$

Поскольку $y\le 2x\Rightarrow$ $\dfrac{x(x-1)}{2}+2x\ge 46;\ x^2+3x\ge 92.$  Снова имеем монотонную функцию  $z=x^2+3x$         на множестве натуральных чисел;  $z(8)=.8^2+3\cdot 8=88<92;\ z(9)=9^2+3\cdot 9=108>92\Rightarrow x\ge 9.$

Вывод: $x=9.$ Добавляя к девяти малым островам один большой остров, получаем ответ к задаче.

Ответ:  10.