Question

Дана четырёхугольная пирамида,в основании которой лежит ромб.Все высоты боковых граней,проведённые из вершин,равны 53.Высота пирамиды равна 45.Острый угол ромба,лежащего в основании,равен 60 градусов.Найди площадь основания пирамиды.

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{6272\sqrt{3}}{3}$  кв. ед.

Объяснение:

Основание четырехугольной пирамиды - ромб.

SO = 45 - высота пирамиды.

Проведем перпендикуляры к сторонам основания из точки О:

OK⊥AB, OM⊥BC, OH⊥CD, OP⊥AD.

Отрезки ОК, ОМ, ОН, ОР - проекции соответствующих наклонных на плоскость основания, значит SK⊥AB, SM⊥BC, SH⊥CD, SP⊥AD по теореме о трех перпендикулярах.

По условию SK = SM = SH = SP = 53, значит и

ОК = ОМ = ОН = ОР как проекции равных наклонных, проведенных из одной точки.

Тогда точка О равноудалена от сторон ромба, то есть О - центр вписанной в ромб окружности (точка пересечения диагоналей).

ΔSOH:  ∠SOH = 90°, по теореме Пифагора

 OH = √(SH² - SO²) = √(53² - 45²) = √((53 - 45)(53 + 45)) =

= √(8 · 98) = √(2 · 4 · 2 · 49) = 2 · 2 · 7 = 28

КН = 2 · ОН = 2 · 28 = 56

ВН₁ = КН = 56 как расстояния между параллельными прямыми

∠BCD = 60°, BC = CD, значит ΔBCD равносторонний.

ВН₁ - высота равностороннего треугольника, тогда

$BH_1=\dfrac{CD\sqrt{3}}{2}$

$CD=\dfrac{2\cdot BH_1}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\cdot 56}{\sqrt{3}}=\dfrac{112}{\sqrt{3}}$

Площадь ромба:

$S=a^2\cdot \sin \alpha$

$a=CD=\dfrac{112}{\sqrt{3}}$

$\alpha =60^\circ$

$S=\left(\dfrac{112}{\sqrt{3}}\right)^2\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{6272\sqrt{3}}{3}$