Прямая 5x-12y+4=0 - касательная к окружности с центром в точке (2;-1).
Составьте уравнение этой окружности.
Ответы
Ответ: (x-2)²+(y+1)²=4.
Объяснение:
Уравнение окружности имеет вид: (x-a)²+(y-b)²=R², где x=a и y=b - координаты её центра, R - радиус. По условию, a=2 и b=-1, так что нам остаётся найти R. Радиус окружности R лежит на прямой, проходящей через центр окружности и перпендикулярной к касательной. Запишем уравнение данной по условию прямой в виде 12*y=5*x+4, или y=5/12*x+1/3. Отсюда следует, что угловой коэффициент этой прямой k1=5/12. Тогда угловой коэффициент k2 прямой, на которой лежит радиус, находится по формуле k2=-1/k1=-12/5. Составим уравнение этой прямой в виде y-y0=k2*(x-x0), где x0=2 и y0=-1 - координаты центра окружности. Подставляя указанные значения, получаем уравнение y+1=-12/5*(x-2), или 12*x+5*y-19=0. Для нахождения точки касания составляем систему уравнений:
5*x-12*y+4=0
12*x+5*y-19=0
Решая её, находим x=16/13 и y=11/13 - координаты точки касания. А так как радиус окружности равен расстоянию между её центром и точкой касания, то R=√[(2-16/13)²+(-1-11/13)²]=√(676/169)=√4=2. Поэтому уравнение окружности имеет вид: (x-2)²+(y+1)²=4.