Задано координати вершин піраміди ABCD. A (2;5;6), B (4;7;9), C(-3;8;1), D (0;6;4).
Знайдіть довжину висоти DK, проведеної з вершини D.
Ответы
Задано координати вершин піраміди ABCD:
A (2;5;6), B (4;7;9), C(-3;8;1), D (0;6;4).
Знайдіть довжину висоти DK, проведеної з вершини D.
Объём пирамиды равен (1/6) смешанного произведения векторов (АВ х АС) х АД.
Находим координаты векторов.
АВ = (4-2; 7-5; 9-6) = (2; 2; 3),
АС = (-3-2; 8-5; 1-6) = (-5; 3; -5),
АД =(0-2; 6-5; 4-6) = (-2; 1; -2).
Находим векторное произведение векторов АВ и АС по схеме Саррюса.
i j k| i j
2 2 3| 2 2
-5 3 -5| -5 3 = -10i - 15j + 6k +10j - 9i + 10k =
= -19i - 5j + 16k.
Произведение (АВ х АС) равно (-19; -5; 16).
Теперь находим произведение (АВ х АС) х АД.
(АВ х АС) х АД = (-19*(-2) + (-5)*1 + 16*(-2)) = (38 - 5 - 32) = 1.
Объём равен V = (1/6)*|1| = 1/6 ≈ 0,1667 куб.ед.
Площадь грани АВС равна половине модуля векторного произведения АВ и АС:
S(ABC) = (1/2)√((-19)² + (-5)² + 16²) = (1/2)√(361+25+256) = (1/2)√642 ≈ 12,669 кв. ед.
Тогда высоту H из точки D на плоскость АВС найдём по формуле:
H = 3V/S(ABC) = 3*(1/6) / (√642/2) = 1/√642 ≈ 0,0395.
Ответ: DK = 1/√642.