Question

Периметр прямокутного трикутника дорівнює 84 см, а його гіпотенуза 37. Знайдіть площу цього трикутника.​

Answer 1

Пусть катеты равны х и у.

Их сумма равна 84 - 37 = 47 см.

То есть х + у = 47.

По Пифагору x² + y² = 37².

Если возвести в квадрат сумму неизвестных, то получим:

(x + y)²  =  x² + y² + 2xy.

Значение(1/2)ху - это площадь S треугольника, поэтому:

2ху = 4*((1/2)ху) = 4S.

Заменим в выражении  (x + y)² = x² + y² + 2xy значения:

х + у = 47, x² + y² = 37² и 2ху = 4S,

Получаем: 47² = 37² + 4S, отсюда:

S = (47² - 37²)/4 = 840/4 = 210 кв. ед.

Если нужно определить длины катетов, то надо решить систему:

{x² + y² = 37²

{x + y = 47.

Применив замену у = 47 - х и подставив в первое уравнение, находим х = 12 или 35, а у = 35 или 12.