Question

Дам 20 баллов.
найди отношение площадей двух треугольников,если стороны одного равны 24см,42см,54см,а стороны другого треугольника относятся как 9:4:7,причём его большая сторона равна 108 см.чему равно отношение площадей треугольников?

Answer 1

Ответ:

4

Объяснение:

1 способ

Найдем площадь треугольника со сторонами 24 см, 42 см и 54 см по формуле Герона:

$S= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c) } ,$

$p=\dfrac{a+b+c}{2}$   - полупериметр ,    a,b,c - стороны треугольника.

$p=\dfrac{24+42+54}{2}=\dfrac{120}{2} =60 ;\\S= \sqrt{60(60-24)(60-42)(60-54) } =\sqrt{60\cdot 36\cdot 18\cdot 6} =6 \sqrt{60\cdot 3\cdot6\cdot6 } =\\=6\cdot6 \sqrt{180 } =36\sqrt{36\cdot5} =36\cdot6 \sqrt{5} =216\sqrt{5}$

Площадь первого треугольника равна 216 √5 см².

Найдем стороны другого треугольника . Если большая сторона равна 108 см и на нее приходится 9 частей, то найдем сколько см приходится на одну часть.

$108:9=12$ см.

Тогда две другие стороны будут равны

$12\cdot 4=48$ см

$12\cdot7 =84$ см.

Найдем площадь треугольника со сторонами 48 см, 84 см и 108 см.

$p=\dfrac{48+84+108 }{2}=\dfrac{240}{2} =120 ;\\S= \sqrt{120(120-48)(120-84)(120-108) } =\sqrt{120\cdot 72 \cdot 36\cdot 12} =36 \sqrt{120\cdot 2\cdot2\cdot6 } =\\=72 \cdot \sqrt{720 } =72\sqrt{36\cdot 4\cdot 5} =72\cdot12 \sqrt{5} =862 \sqrt{5}$

Тогда площади относятся

$\dfrac{S{_2}}{S{_1} } =\dfrac{864\sqrt{5} }{216\sqrt{5} } =4$

2 способ (более простой)

Стороны второго треугольника 48 см, 84 см и 108 см.

$\dfrac{48}{24} =\dfrac{84}{42} =\dfrac{108}{54 } =2$

Тогда  три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника и треугольника подобны по третьему признаку подобия треугольников . Коэффициент подобия k= 2.

Площади подобных треугольников относятся как коэффициент подобия в квадрате

$k^{2} =4$

Отношение площадей данных треугольников равно 4.