Question

Я предлагаю товарищу записать любое трехзначное число, состоящее из различных цифр( без нуля ). Пусть он теперь переставит цифры этого числа в любом порядке и получит новое число. Пусть меньшее из этих двух чисел он вычтет из большего числа, зачиркнет одну цифру в полученной разности и назовет мне сумму незачеркнутых цифр. Тогда я смогу легко определить, какую цифру зачеркнул  мой товарищ. Объясните с помощью признакам делимости на 9 этот фокус.

Answer 1

Если 3-значное число АВС записать в виде 100А+10В+С
При перестановке цифр в любом порядке мы получим еще пять чисел, кроме АВС:
АСВ, ВАС, ВСА, САВ, СВА. Их также можно записать в таком же виде:
100А+10С+В
100В+10А+С
100В+10С+А
100С+10А+В
100С+10В+А

Если от первоначального числа вычитать все остальные (возможные отрицательные значения разности не будем принимать во внимание, т.е. результат возьмем по модулю, то получим следующие значения:
АВС-АСВ=100А+10В+С -100А-10С-В=9В-9С=9(В-С), т.е. число делится на 9, а значит сумма его цифр делится на 9.
Таким образом можно убедится, что разности всех чисел делятся на 9.
Поскольку сумма числа, которое делится на 9, всегда делится на 9, то если вычеркнуть одну из цифр этого числа, сумма незачеркнутых цифр составит разность между 9 и вычеркнутой цифрой.