Question

дифференциальные уравнения

Answer 1

1) Замена $z=\dfrac{x}{y}\Rightarrow z'=\dfrac{y-xy'}{y^2}\Rightarrow y'=\dfrac{y-z'y^2}{x}=\dfrac{1}{z}-\dfrac{xz'}{z^2}$ :

$\dfrac{1}{z}-\dfrac{xz'}{z^2}=\dfrac{1}{z}+\dfrac{e^{-z}}{z^2}\Leftrightarrow -xz'=e^{-z}\Leftrightarrow e^zdz=-\dfrac{dx}{x}\Leftrightarrow e^z=C-\ln x\\ \boxed{ y=\dfrac{x}{\ln (C-\ln x)}}$

2) Заметим, что это уравнение в полных дифференциалах. И правда:

$((2-9xy^2)x)'_y=-18x^2y=((4y^2-6x^3)y)'_x$

Тогда решение данного ДУ можно записать в виде $z(x,y)=C$. При этом

$z=\int (2-9xy^2)xdx=x^2-3x^3y^2+\varphi(y)$

Определяем неизвестную функцию:

$(x^2-3x^3y^2+\varphi(y))'_y=4y^3-6x^3y\Leftrightarrow \varphi'(y)=4y^3\\ \varphi(y)=y^4+C_0$

Окончательно

$\boxed{x^2-3x^3y^2+y^4=C}$

3) Замена $y=xz\Rightarrow y'=z+xz'$:

$xz=x(z+xz'-x\cos x)\Rightarrow z'-\cos x=0\Leftrightarrow z=\sin x+C$

$\boxed{y=x\sin x+Cx}$