Question

Вышмат. #2038
Ну вот такая интересная задачка, на экстремум

Answer 1

Представим открытый бассейн как прямой параллелепипед.

Его поверхность S (без верха) равна:

S = So + Ph.

Здесь So - площадь дна, Р - периметр дна и h - глубина бассейна.

Минимум функции, состоящей из двух слагаемых, определяется при минимуме каждого слагаемого.

Из параллелограммов наименьшей площадью при равных сторонах имеет квадрат и периметр его тоже минимален.

Примем сторону дна за х, тогда So = x², h = V/So = V/(x²).

Получаем функцию зависимости поверхности от размера дна:

S = х² + (4х)(V/x²) = x² + (4V/x).

Найдём производную этой функции.

S’ = 2x – (4V/x²) = (2x³ - 4V)/x².

Приравняем её нулю (достаточно числитель).

2x³ - 4V = 0,

x³ = 4V/2 = 2V.

x = ∛(2V).

Ответ: размеры бассейна (∛(2V)) х (∛(2V)) х ∛(V)/(2^(2/3))).