Question

Дано не равенство 3/4<а<5/6 оцени выражение 1/12a-8
​

Answer 1

$\dfrac{3}{4} < a < \dfrac{5}{6}$

Нужно определить, в каком промежутке будет находиться выражение

$\dfrac{1}{12a-8}$ . Теперь начинаем поэтапно расписывать неравенство и приводить к нужному нам виду.

$\dfrac{3\cdot 12}{4} < 12a < \dfrac{5\cdot 12}{6}\\\\\\9 < 12a < 10\\\\9 - 8 < 12a - 8 < 10-8\\\\1 < 12a - 8 < 2$

Из этого двойного неравенства составляем систему неравенств.

$\begin{equation*}\begin{cases}12a - 8 > 1\\12a - 8 < 2\end{cases}\end{equation*}$

Чтобы получить то выражение, что в условии, нужно возвести обе части неравенств в -1 степень. Перед тем, как это сделать, рассмотрим неравенства. В правых частях натуральные числа, в левых одно и то же выражение. Найдём значение $a$, при котором оно обращается в 0.

$12a - 8 = 0\\\\12a = 8\\\\a = \dfrac{8}{12}\\\\\\a = \dfrac{2}{3}$

Данное значение не входит в заданное в условии значение переменной и меньше его, значит, левая часть всегда положительна. Если в обеих частях неравенства положительные числа, то при возведении в отрицательную степень неравенство поменяет свой знак.

$\begin{equation*}\begin{cases}\dfrac{1}{12a-8} < 1^{-1}\\\\\dfrac{1}{12a-8} > 2^{-1}\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow\ \begin{equation*}\begin{cases}\dfrac{1}{12a-8} < 1\\\\\dfrac{1}{12a-8} > \dfrac{1}{2}\end{cases}\end{equation*}$

В виде двойного неравенства это будет выглядеть вот так:

$\boxed{\boldsymbol{\dfrac{1}{2} < \dfrac{1}{12a-8} < 1}}$

Это соответствует варианту 3.