Question

В треугольник с основанием AC = 15 см и высотой BD = 12 см вписан квадрат KLMN так, что сторона
KV лежит на основании AC, а вершины и М — соответственно на сторонах AB и BC. Определи длину
стороны Квадрата.
(Если в ответе получилось целое число, запиши в знаменателе 1.)
Длина стороны Квадрата равна
ВО
см.

Answer 1

Ответ:

Сторона квадрата равна $\displaystyle 6\frac{2}{3}\;_{CM}$.

Пошаговое объяснение:

Требуется определить сторону квадрата, вписанного в треугольник.

Дано: ΔАВС;

KLMN - квадрат, вписанный в ΔАВС;

KN ⊂ АС;

АС = 15 см;

BD = 12 см - высота.

Найти: сторону квадрата.

Решение:

Обозначим сторону квадрата - а.

1. Рассмотрим ΔDBC и ΔNMC.

BD ⊥ DC (BD - высота)

MN ⊥ DC (KLMN - квадрат)

• Если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны между собой.

⇒ MN || BD

• Лемма. Если две стороны треугольника пересекает прямая, параллельная третьей стороне, то она отсекает треугольник, подобный данному.

⇒ ΔNMC ~ ΔDBC.

Составим отношения сходственных сторон:

$\displaystyle \frac{MN}{BD}= \frac{MC}{BC}$

Подставим значения MN = a, BD = 12 см:

$\displaystyle \frac{a}{12}=\frac{MC}{BC}\\ \\\boxed {a=12*\frac{MC}{BC} }\;\;\;\;\;(1)$

2. Рассмотрим ΔLBM и ΔABC.

LM || KN ( KLMN - квадрат)

KN ⊂ АС ⇒ LM || AC

ΔLBM ~ ΔABC (лемма)

Запишем отношения сходственных сторон:

$\displaystyle \frac{LM}{AC}=\frac{BM}{BC}$

Подставим значения LM = a; AC = 15 см.

Заметим, что BM = BC - MC.

Получим:

$\displaystyle \frac{a}{15}=\frac{BC - MC}{BC} \\\\\frac{a}{15}=1-\frac{MC}{BC}\\ \\ \boxed {a=15-15*\frac{MC}{BC} }\;\;\;\;\;(2)$

3. Приравняем выражения (1) и (2) и найдем отношение  $\displaystyle \frac{MC}{BC}$ :

$\displaystyle 12*\frac{MC}{BC}=15-15*\frac{MC}{BC}} \\\\27*\frac{MC}{BC}=15\\ \\\frac{MC}{BC}=\frac{15}{27} =\frac{5}{9}$

Теперь можем найти а, подставив в выражения (1) или (2) значение $\displaystyle \frac{MC}{BC}=\frac{5}{9}$  :

$\displaystyle a=12*\frac{5}{9}=\frac{20}{3}=6\frac{2}{3}$

Сторона квадрата равна $\displaystyle 6\frac{2}{3}\;_{CM}$.