Question

Извлеките квадратный корень из числа z = -7+24i

Answer 1

Ответ:

$\sqrt{z_1}=-3 - 4i$; $\sqrt{z_2} =3+4i$

Объяснение:

z = -7 + 24i

Извлечь квадратный корень из z.

Решение:

Можно это сделать по формуле Муавра, но для этого нужно перевести z в тригонометрическую форму.

Однако, можно сделать проще. Пусть: $\sqrt{z} =x+yi$

Тогда: $z=(x+yi)^2=x^2+2xyi+y^2*i^2=(x^2-y^2)+2xyi$

Но. как нам известно, z = -7 + 24i:

Приравниваем правые части:

(x^2 - y^2) + 2xyi = -7 + 24i

Приравниваем отдельно действительную и мнимую части:

{ x^2 - y^2 = -7

{ 2xy = 24

Упрощаем:

{ y^2 - x^2 = 7

{ xy = 12

Делаем подстановку:

{ y = 12/x

{ (12/x)^2 - x^2 = 7

Решаем 2 уравнение:

144/x^2 - x^2 - 7 = 0

Умножаем всё на x^2:

144 - x^4 - 7x^2 = 0

x^4 + 7x^2 - 144 = 0

Получили биквадратное уравнение:

D = 7^2 - 4*1(-144) = 49 + 576 = 625 = 25^2

x^2 = (-7 - 25)/2 = -32/2 = -16 < 0 - не подходит

x^2 = (-7 + 25)/2 = 18/2 = 9

x1 = -3; y1 = 12/x = 12/(-3) = -4; $\sqrt{z_1}=-3 - 4i$

x2 = 3; y2 = 12/3 = 4; $\sqrt{z_2} =3+4i$