Question

#15
 Найдите сумму всех различных значений функции f (x) = x² - 4x + 100, где число х может принимать значения от 1 до 100.
A 32083   
B 320853  
C 32853  
D 328053

​

Answer 1

Поймем, при каких значениях функции найдутся два икса из рассматриваемого отрезка, которые это значения дают. То есть $x^2-4x+100-n$ имеет два целых корня из отрезка $[1,100]$. Сумма корней равна $4$, а потому либо меньший равен $1$ и тогда второй равен $3$, значит, $100-n=3 \Leftrightarrow n=97$, либо $2$ и тогда $100-n=4 \Leftrightarrow n=96$, однако в этом случае оба корня совпадают -- не подходит.

Считаем сумму: $\displaystyle f(x)= (x-2)^2+96 \Rightarrow \text{Sum} = \sum\limits_{x=1}^{100}(x-2)^2 + 96\cdot 100 - 97 = \\ = 1+0+\dfrac{98\cdot 99\cdot 197}{6} + 9600 -97 = 328053$