Question

Даю 100 баллов!Срочно!
Диагонали разбивают выпуклый четырёхугольник на четыре треугольника. Радиусы окружностей, описанных около этих треугольников, одинаковы и равны 10.
Найдите стороны четырёхугольника

Answer 1

Пусть рассматривается четырехугольник $ABCD$, а $O$ -- точка пересечения диагоналей. Заметим, что во-первых, $AB = 2r\sin\angle BOA = 2r\sin \angle COD = CD$, а во-вторых, $AB = 2r\sin\angle BOA = 2r\sin(180^{\circ}-\angle BOA) = 2r\sin \angle BOC = BC$, следовательно, $AB=BC=CD=AD$.

Но тогда такой четырехугольник -- ромб. Поскольку $\angle BOC = 90^{\circ}$, то $BC = 2r = 20$, следовательно, все стороны четырехугольника равны $20$.