Question

Найти все частные производные данной функций по каждой из независимых переменных
z=(y/x)^x

Answer 1

$z=\Big(\dfrac{y}{x} \Big)^x\\ \\ z=\dfrac{y^x}{x^x}\\ \\ \\ z'_y=\dfrac{x\cdot y^{x-1}}{x^x}=\dfrac{y^{x-1}}{x^{x-1}}=\Big(\dfrac{y}{x} \Big)^{x-1}$

$z'_x=\Big(\dfrac{y^x}{x^x}\Big)'=\Big(\dfrac{y^x}{e^{ln\;x^x}}\Big)'=\Big(\dfrac{y^x}{e^{xln\;x}}\Big)'=\\\\=\dfrac{y^x\cdot ln\;y\cdot e^{xln\;x}-y^x\cdot\Big(1\cdot ln\; x+x\cdot\dfrac{1}{x} \Big)e^{xln\;x}}{e^{2xln\;x}}=\\\\ =\dfrac{y^x\cdot e^{xln\;x}\Big( ln\;y -ln\; x-1 \Big)}{e^{2xln\;x}}=\dfrac{y^x\Big( ln\;\dfrac{y}{x} -1 \Big)}{e^{xln\;x}}=\Big(\dfrac{y}{x} \Big)^x\Big( ln\;\dfrac{y}{x} -1 \Big)$