Question

Четырехугольник ABCD задан координатами своих вершин А (-1;1), В (3;3), С (2;-2), D (-2;-1). Найдите синус угла между его диагоналями​

Answer 1

$\overrightarrow{AC} = (2 - (-1); -2-1) = (3; -3)$

$\overrightarrow{BD} = (-2-3; -1-3) = (-5; -4)$

Используем скалярное произведение

$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD} = (3; -3)\cdot (-5; -4) = 3\cdot(-5) + (-3)\cdot(-4) = -15 + 12 = -3$

$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = 3\cdot\sqrt{2}$

$|\overrightarrow{BD}| = \sqrt{(-5)^2 + (-4)^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}$

$\cos(\alpha) = \frac{-3}{3\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{41}} = -\frac{1}{\sqrt{82}}$

косинус искомого угла отрицательный, значит угол тупой. Угол между прямыми всегда берётся острый, то есть

$\cos(\pi - \alpha) = \cos(\pi)\cos(\alpha) + \sin(\pi)\sin(\alpha) = -\cos(\alpha)$

Итак, косинус искомого угла есть $\frac{1}{\sqrt{82}}$

угол острый, тогда синус острого угла положителен, тогда

$\sin(x) = \sqrt{1 - \cos^2(x)} = \sqrt{1 - \frac{1}{82}} = \frac{9}{\sqrt{82}}$