Question

В треугольнике ABC провели биссектрису ВD и медиану BM. Известно, что AB: BC = 3:5 и площадь треугольника АВС равна 40. Найдите площадь ABDM.​

Answer 1

В треугольнике ABC провели биссектрису ВD и медиану BM. Известно, что AB: BC = 3:5 и площадь треугольника АВС равна 40. Найдите площадь △BDM.

Ответ:S(△BDM)=5 ед²

Пошаговое объяснение:

1) Так как медиана BM делит треугольник на два равновеликих треугольника,то: S(△ABM)=S(△CBM)=40:2=20 ед².

2) Биссектриса BD делит угол АВС пополам. Пусть ∠ABD=∠CBD=α

Так как площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними, то:

S(△ABD)=½×AB×BD×sin α

S(△CBD)=½×BC×BD×sin α

Найдём отношения этих площадей:

$\dfrac{S(ABD)}{S(CBD)}=\dfrac{\frac{1}{2}\times AB\times BD\times\sin\alpha}{\frac{1}{2}\times BC\times BD\times\sin\alpha}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{3}{5}$

S(△ABD):S(△CBD)=3x:5x.

Так как S(△ABC)=S(△ABD)+S(△CBD)=40, составляем уравнение:

3х + 5х = 40

8х=40

х=5

S(△ABD) = 3х = 3×5 = 15 ед²

3) S(△BMD) = S(△CBM) - S(△ABD) = 20-15 = 5 ед².