Question

Помогите пожалуйста решить ​

Answer 1

$y'-2y=-e^{-x}.$ Решим сначала соответствующее однородное уравнение.  $y'-2y=0;$ поскольку множество решений линейного однородного уравнения образует линейное пространство (размерности 1 в случае уравнения первого порядка), достаточно угадать одно ненулевое решение; это  $y_1=e^{2x}.$ Общее решение однородного уравнения имеет вид  $y_{00}=C_1e^{2x}.$

Остается найти частное решение неоднородного уравнения, в нашем случае оно ищется среди функций вида. $\bar y=Ae^{-x}.$ Подставим такую функцию в уравнение и найдем. A:

$-Ae^{-x}-2Ae^{-x}=-e^{-x}; \ -3A=-1;\ A=\dfrac{1}{3}.$

Ответ:   $y=C_1e^{2x}+\dfrac{1}{3}e^{-x}.$