ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА ДАЮ 70 БАЛЛОВ. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.
Задано координати вершин піраміди А=(1;4;1) В=(-3;2;1) С=(-3;-4;1) D=(2;3;-5)
Знайти: 1)Скалярний добуток АВ×АС і кут між ребрами АВ і АС
2) проекцію вектора АВ на вектор АС
3) площу грані АВС
Пожалуйста с решением!!! ЗАРАНЕЕ СПАСИБО!
Ответы
Ответ:
1)16
2)(не знаю какую проекцию надо) скалярная:4; векторная: (-4; 0; 0)
3)4
Пошаговое объяснение:
вектора ребер AB и AC:
AB = B-A = (-3; 2; 1) - (1; 4; 1) = (-4; -2; 0)
AC = C-A = (-3; -4; 1) - (1; 4; 1) = (-4; 0; 0)
1)скалярное произведение:
АВ·АС = (-4; -2; 0)·(-4; 0; 0) = -4*-4 + (-2)*0 + 0*0 = 16
2)скалярная проекция вектора AB на вектор AC:
AC/|AC| = (-4; 0; 0)/sqrt((-4)^2+0^2+0^2) = (-1; 0; 0)
p = AB·(AC/|AC|) = (-4; -2; 0)·(-1; 0; 0) = -4*(-1) + (-2)*0 + 0*0 = 4
векторная проекция вектора AB на вектор AC:
|AC|*p = (-1; 0; 0) * 4 = (-4; 0; 0)
3) площадь грани ABC:
это находится через векторное произведение, у нас уже есть два вектора ребер этой грани
AB×AC = (AB.y*AC.z − AB.z*AC.y; AB.z*AC.x − AB.x*AC.z; AB.x*AC.y − AB.y*AC.x) = (-2*0 − 0*0; 0*-4 − (-4)*0; -4*0 − (-2)*-4) = (0; 0; 8)
длина этого вектора также является площадью параллелограмма сформированного этими двумя векторами, поэтому если поделим длину на два получим площадь треугольника сформированного векторами AB и AC, что и является площадью грани ABC.
|AB×AC| = sqrt(0^2 + 0^2 + 8^2) = 8
S_ABC = |AB×AC|/2 = 8/2 = 4