Question

Отрезок AB длины 16 см пересекает плоскость α в точке O. Расстояние от концов отрезка до плоскости α соответственно равны 3 см и 5 см. Найди острый угол, который образует отрезок AB с плоскостью α.

Answer 1

Ответ:

Угол между отрезком и плоскостью равен 30°.

Объяснение:

• Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, проведенного из точки к плоскости.

Проведем перпендикуляры АН и ВК к плоскости α.

АН = 3 см, ВК = 5 см

АН║ВК как перпендикуляры к одной плоскости.

Две параллельные прямые задают плоскость, которая пересекает плоскость α по прямой КН. Так как отрезок АВ лежит в этой плоскости, то точки К, О и Н лежат на одной прямой.

ОК - проекция ВО на плоскость α, значит ∠ВОК - искомый угол между отрезком АВ и плоскостью α.

ΔАНО ~ ΔВКО по двум углам:

∠АНО = ∠ВКО = 90°, углы при вершине О равны как вертикальные.

Из подобия треугольников следует, что

$\dfrac{AO}{BO}=\dfrac{AH}{BK}$

Обозначим АО = х, тогда ВО = 16 - х.

$\dfrac{x}{16-x}=\dfrac{3}{5}$

5x = 3(16 - x)

5x = 48 - 3x

8x = 48

x = 6

АО = 6 см

ВО = 16 - 6 = 10 см

ΔВКО:  ∠ВКО = 90°,

$\sin\angle BOK=\dfrac{BK}{BO}=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$

∠ВОК = 30°