Дана функция
u=(x^2+y^2)-z
Найти полный дифференциал данной функции в точке M(3;4;1)
Ответы
Ответ. Если указано правило, согласно которому с каждой точкой М плоскости (или какой-нибудь части плоскости) сопоставляется некоторое число u, то говорят, что на плоскости (или на части плоскости) «задана функция точки»; задание функции символически выражается равенством вида u=f(M). Число u, сопоставляемое с точкой М, называется значением данной функции в точке М. Например, если А - фиксированная точка плоскости, М - произвольная точка, то расстояние от А до М есть функция точки М. В данном случае f(m)=AM.
Пусть дана некоторая функция u=f(M) и вместе с тем введена система координат. Тогда произвольная точка М определяется координатами x, y. Соответственно этому и значение данной функции в точке М определяется координатами x, y, или, как еще говорят, u=f(M) есть функция двух переменных x и y. Функция двух переменных x и y обозначается символом f(x; y): если f(M)=f(x;y), то формула u=f(x; y) называется выражением данной функции в выбранной системе координат. Так, в предыдущем примере f(M)=AM; если ввести декартову прямоугольную систему координат с началом в точке А, то получим выражение этой функции:
u=√x2 + y2
ЗАДАЧА 3688 Дана функция f (x, y)=x^2–y^2–16.
Дана функция f (x, y)=x^2–y^2–16. Определить выражение этой функции в новой системе координат, если координатные оси повернуты на угол –45 градусов. Смотреть решение...
Понятие уравнения линии. Задание линии при помощи уравнения
Равенство вида F(x; y)=0 называется уравнением с двумя переменными x, y, если оно справедливо не для всяких пар чисел x, y. Говорят, что два числа x=x0, y=y0 удовлетворяют некоторому уравнению вида F(x, y)=0, если при подстановке этих чисел вместо переменных x и y в уравнение его левая часть обращается в нуль.
Уравнением данной линии (в назначенной системе координат) называется такое уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты каждой точки, не лежащей на ней.
В дальнейшем вместо выражения «дано уравнение линии F(x; y)=0» мы часто будем говорить короче: «дана линия F(x; y)=0».
Если даны уравнения двух линий F(x,y)=0 и Ф(x, y)=0, то совместное решение системы F(x,y)=0, Ф(x, y)=0 дает все точки их пересечения. Точнее, каждая пара чисел, являющаяся совместным решением этой системы, определяет одну из точек пересечения.
ЗАДАЧА 3689 Даны линии. Определить, какие из них
Даны линии. Определить, какие из них проходят через начало координат.
1) x+y=0;
2) x-y=0;
3) x^2+y^2-36=0;
4) x^2+y^2-2x+y=0;
5) x^2+y^2+4x-6y-1=0. Смотреть решение...