Question

Помогите решить задачу​

Answer 1

Ответ: в тетраэдре ДАВС двухгранный ∠АНД=45°

Пошаговое объяснение: проведем 2 высоты:  ДН  в ΔВСД и АН в ΔАВС, и получим искомый двухгранный ∠АНД (отмечен на рисунке фиолетовым цветом). ΔАВС - равносторонний, поэтому высота АН будет также и медианой, которая делит сторону ВС пополам, поэтому ВН=НС=8:2=4см. ΔВСД - равнобедренный с основанием ВС (так как с равносторонним треугольником АВС у них совпадают вершины А и Д, и АВ=АС, то ВД=СД). В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию также является медианой, поэтому высота ДН тоже делит ВС пополам в точке Н. В данном случае основания высот обоих треугольников совпадают в одной точке Н. Найдем высоту АН в ΔАВС по формуле:

АН=$\displaystyle\displaystyle\displaystyle\frac{\sqrt{3} }{2}*$ ВС=$\displaystyle\displaystyle\displaystyle\frac{\sqrt{3} }{2} *8=\frac{8\sqrt{3} }{2}= 4\sqrt{3}$см

Высота ДН делит ΔВСД  на 2 равных прямоугольных треугольника ВДН и СДН, в которых ДН, ВН и СН - катеты, а ВД и СД - гипотенузы. Найдем высоту ДН из ΔВДН по теореме Пифагора:

ДН²+ВН²=ВД² → ДН²=ВД²-ВН²=(4√7)²-4²=16*7-16=16(7-1)=16*6=96

ДН=√96=4√6см.

ΔАДН - прямоугольный, так как АД - перпендикуляр, АД и АН - катеты, а ДН - гипотенуза

Из ΔАДН найдем искомый ∠АНД через косинус угла. Косинус угла - это отношение прилежащего к углу катета к гипотенузе:

cosAHД=АН/ДН=$\displaystyle\displaystyle\displaystyle\frac{4\sqrt{3} }{4\sqrt{6} } =\frac{\sqrt{3} }{\sqrt{6} } =\frac{\sqrt{3} }{\sqrt{3}*\sqrt{2} }=\frac{1}{\sqrt{2} } =\frac{1*\sqrt{2} }{\sqrt{2} *\sqrt{2} } =\frac{\sqrt{2} }{2}$=45°