Question

Докажите, что n^5-15n^3+54n делится на 5 при любом целом n.

Answer 1

$n^{5}-15n^3+54n \equiv n^5 - n = n(n^4-1) = n(n^2-1)(n^2+1) = n(n-1)(n+1)(n^2+1) \mod 5$

Но тогда если группа подряд идущих остатков не <<задевает>> остаток $0$, то $n$ равно либо $2$, либо $3$ по модулю пяти. Тогда $n^2+1 \equiv 0 \mod 5$ в обоих этих случаях.