Question

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, вавна 10, а косинус одного из острых углов равен 3/5. Найдите радиус окружности вписанной в данный треугольник.

Answer 1

Пусть в треугольнике АВС угол С - прямой,  АВ - гипотенуза, СМ - медиана к ней, CosА=3/5=0,6.

В прямоугольном треугольнике медиана проведённая к гипотенузе равна её половине.

АВ=2*СМ=2*10=20.

Длина катета АС относится к длине гипотенузы АВ как прилежащего угла CosА=0,6.

АС=АВ*СosA=20*0,6=12.

Второй катет ВС найдём по теореме Пифагора:

$BC=sqrt{AB^2-AC^2}=sqrt{20^2-12^2}=sqrt{400-144}=sqrt{256}=16$.

В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности будет равен половине разности между суммой катетов и гипотенузой

r=(АС+ВС-АВ)/2=(12+16-20)/2=8/2=4.

Ответ: радиус вписанной окружности равен 4.