Предмет: Математика, автор: Rich00000000

Линия задана уравнением в декартовой прямоугольной системе координат.

Приложения:

Ответы

Автор ответа: dnepr1

Линия задана уравнением в декартовой прямоугольной системе координат: y² + 2x² - 12x + 10 = 0.

Выделим полный квадрат для переменной х.

2(x² - 2*3x + 9) – 18 + y² + 10 = 0.

2(x – 3)² + y² - 8 = 0. Перенесём свободный член вправо и разделим на него обе части уравнения.

2(x – 3)² + y² = 8,

8 8 8

(x – 3)²/4 + y²/8 = 1, получаем уравнение эллипса, похожее на каноническое, но так как величина b больше, чем а, то этот эллипс повёрнут на 90 градусов так, что его фокусы находятся на оси Оу:

(x – 3)² + y² = 1, центр его находится в точке О(3; 0).

2² (2√2)²

Полуоси а = 2, b = 2√2.

Фокальный параметр с учётом поворота осей р = а²/b = 4/(2√2) = √2.

Находим расстояние с от центра до фокуса: с = √(b² - а²) = √(8 – 4) = √4 = 2.

Координаты фокусов F1(3; -2). F2(3; 2).

Эксцентриситет для такого эллипса ε = с/b = 2/(2√2) = 1/√2 = √2/2.

Если b > а, то директрисы определяются уравнениями y = -b/ε, y = b/ε, то есть у = +-(2√2)/(√2/2) = +-4.

График эллипса в декартовой системе координат приведен на первом рисунке.

Теперь переходим к полярной системе координат.

Уравнение эллипса в полярной системе координат имеет вид:

r = p/(1 + e*cos φ).

Для случая, когда большая ось повёрнута на 90 градусов, надо ввести поправку на косинус угла: так как угол равен 90 – φ, то cos φ = sin φ. По полученным значениям параметров эллипса с учётом поправки получаем уравнение в полярной системе координат:

r = √2/(1 – (√2/2)*sin φ).

Для этого случая центр полярной системы размещается в левом (в данном случае – нижнем) фокусе эллипса (поэтому взят знак минус).

График приведен на втором рисунке.

Точки для его построения по полученной формуле даны ниже в таблице.

Значения угла даны через π/8.

φ sin φ r

0 0 1,414214

0,392699 0,382683 1,938867

0,785398 0,707107 2,828427

1,178097 0,92388 4,078852

1,570796 1 4,828427

1,963495 0,92388 4,078852