Question

Помогите пожалуйста решить Не понимаю как решить помогите!​

Answer 1

Требуется минимизировать площадь поверхности при постоянном объеме $V_{0}$. Площадь поверхности: $S = \pi r^2+2\pi rh$, а объем $V = V_{0} = \pi r^2 h$. В общем случае нужно решать, используя метод Лагранжа, однако тут две переменные, потому все просто: $S = \pi r(r+2h) = \pi r\left(r+\dfrac{2V_{0}}{\pi r^2}\right) = \pi r^2 + \dfrac{2V_{0}}{r}$. Найдем минимальное значение этой функции при $r>0$. Поскольку $S'(r) = 2\pi r - \dfrac{2V_{0}}{r^2}:= 0 \Rightarrow 2\pi r^3=2V_{0} \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{\dfrac{V_{0}}{\pi}}$, то (а эта точка является минимумом) значения радиуса и высоты, при которых затраты минимальны равны $r = \sqrt[3]{\dfrac{V_{0}}{\pi}} = h$.