Question

Решить уравнение: xy' - y = e^x

Answer 1

$xy'-y = e^x$, поделим на $x$: $y' - \dfrac{y}{x}=\dfrac{e^x}{x}$. Решаем однородное уравнение: $y'-\dfrac{y}{x} = 0\Leftrightarrow \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y}{x} \stackrel{y\neq 0}{\Leftrightarrow} \dfrac{dy}{y}=\dfrac{dx}{x} \Leftrightarrow y = Cx$. Теперь применим метод вариации постоянной, то есть общее решение ищем в виде $y = C(x)x$: $C'(x)x+C(x) - C(x) = \dfrac{e^x}{x} \Leftrightarrow C'(x) = \dfrac{e^x}{x^2}$, откуда $\displaystyle C(x) = \int \dfrac{e^x}{x^2}dx$, окончательно: $\displaystyle y = x\int\dfrac{e^x}{x^2}dx$.