Question

Сколько разных значений может принимать частное a:b, если а и b — натуральные числа, такие, что НОК(a, b): НОД(a, b) = 20 * 22?
(А) 1 (Б) 2 (В) 4 (C) 8 (Д) бесконечно много​

Answer 1

Пусть $d = \gcd(a,b)$. Поскольку $\mathrm{lcm}(a,b) = \dfrac{ab}{\gcd(a,b)}$, то $\dfrac{\mathrm{lcm}(a,b)}{\gcd(a,b)} = \dfrac{ab}{(\gcd(a,b))^2} = \dfrac{ab}{d^2} = \dfrac{a}{d}\dfrac{b}{d}$. Заметим, что числа $\dfrac{a}{d}$ и $\dfrac{b}{d}$ взаимно просты. С другой стороны, их произведение равно $20\cdot 22 = 2^3\cdot 5\cdot 11$. Поэтому они состоят из разных групп простых, причем их степени целиком входят в каждое из них. Разберем несколько случаев:

• $\dfrac{a}{d}$ состоит из одного простого. Тогда если $\dfrac{a}{d} = 2^3$, то $\dfrac{b}{d} = 5\cdot 11$ и $a:b = 8/55$. Если $\dfrac{a}{d} = 5$, то $\dfrac{b}{d} = 88$ и $a:b = 5/88$. Если же $\dfrac{a}{d} = 11$, то $a:b = 11/40$.
• $\dfrac{a}{d}$ состоит из двух простых. Тогда $\dfrac{a}{d} = 40$ дает $40/11$, $\dfrac{a}{d}=55$ дает $55/8$, наконец, $\dfrac{a}{d} = 88$ дает $88/5$ -- все симметрично предыдущему случаю.
• Если $\dfrac{a}{d} = 1$, то частное только одно -- $1/(20\cdot 22)$. Если же $\dfrac{a}{d} = 20\cdot 22$, то частное $20\cdot 22$.

Итого имеем $3+3+2 = 8$ частных.