боковое ребро правильной треугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол arctg0,5 радиус окружности вписанной в основание пирамиды равен 6 см правильно основанию проведено сечение пирамиды площадь которого в 9 раз меньше площади основания в результате получилось 2 многоугольника. Найдите объём большего из них.
Ответы
У правильной треугольной пирамиды есть свойство: тангенс угла αнаклона боковой грани к основанию в 2 раза больше тангенса угла β наклона бокового ребра.
Тогда tgα = 2*0,5 = 1, поэтому угол наклона α = 45 градусов.
Из этого следует, что высота Н пирамиды равна радиусу вписанной окружности: Н = 6 см.
По радиусу r вписанной окружности находим длину ребра а основания как равностороннего треугольника.
a = 2*r/tg 30° = 2*6/(1/√3) = 12√3 см.
Площадь основания So = a²√3/4 = 144*3√3/4 = 108√3 см².
Находим объём пирамиды: V = (1/3)SoH = (1/3)*(108√3)*6 = 216√3 см³.
По условию параллельно основанию проведено сечение пирамиды, площадь которого в 9 раз меньше площади основания.
По свойству подобия фигур радиус вписанной окружности в основание сечения в корень из 9 раз меньше заданного радиуса 6.
А объём пропорционален кубу коэффициента подобия.
Значит, объём V1 отсечённой части пирамид равен:
V1 = (1/3³)V = (1/27)*(216√3) = 8√3 см³.
Ответ: объём большего многоугольника равен 216√3 - 8√3 = 208√3 см³.