Question

Помогите пожалуйста разобраться!!!! Желательно все 3 примера кто как сможет, заранее благодарен​

Answer 1

Ответ:

   Формула Ньютона-Лейбница

        $\displaystyle \boxed{\ \ \int\limits^{b}_{a}\, dx=F(x)\, \Big|_{a}^{b}=F(b)-F(a)\ \ }$

$\displaystyle 1)\ \ \int\limits_0^1\, (e^{-x}+1)^2\, dx=\int\limits_0^1\, (e^{-2x}+2e^{-x}+1)\, dx=\Big(\frac{e^{-2x}}{-2}+2e^{-x}+x\Big)\Big|_0^1=\\\\\\=-\frac{e^{-2}}{2}+2e^{-1}+1-\Big(-\frac{1}{2}+2+0\Big)=-\frac{1}{2e^2}+\frac{2}{e}-\frac{1}{2}$

$\displaystyle 2)\ \ \int\limits^{-1}_{-2}\, 10^{x}\cdot 2^{-x}\, dx=\int\limits^{-1}_{-2}\, 5^{x}\cdot 2^{x}\cdot 2^{-x}\, dx=\int\limits^{-1}_{-2}\, 5^{x}\cdot 1\, dx=\int\limits^{-1}_{-2}\, 5^{x}\, dx=\\\\\\=\frac{5^{x}}{ln5}\, \Big|_{-2}^{-1}=\frac{5^{-1}}{ln5}-\frac{5^{-2}}{ln5}=\frac{1}{ln5}\cdot \Big(\frac{1}{5}-\frac{1}{25}\Big)=\frac{4}{5\, ln5}$

$\displaystyle 3)\ \ \int\limits_0^1\, (e^{-x}-1)^2\, dx=\int\limits_0^1\, (e^{-2x}-2e^{-x}+1)\, dx=\Big(\frac{e^{-2x}}{-2}-2e^{-x}+x\Big)\Big|_0^1=\\\\\\=-\frac{e^{-2}}{2}-2e^{-1}+1-\Big(-\frac{1}{2}-2+0\Big)=-\frac{1}{2e^2}-\frac{2}{e}+\frac{7}{2}$