Question

Парабола y=ax2+bx+c имеет вершину в точке C(4;-10) и проходит через точку D(1;-1). Найдите значение коэффициентов a b c

Answer 1

Ответ:

a = 1, b = -8; c = 6.

Объяснение:

1) Абсцисса вершины параболы у = ax^2 + bx + c находится по формуле x = -b/(2a). Нам известны координаты вершины параболы C(4; -10). x = 4; y = -10.

4 = -b/(2a) - выразим из этой формулы b;

b = -8a.

2) Подставим вместо b в уравнение параболы выражение -8а.

y = ax^2 - 8ax + c.

3) Подставим в получившееся уравнение координаты точек С и D и, объединив получившиеся уравнения в систему, решим ее.

C(4; -10); x = 4, y = -10; a * 4^2 - 8 * a * 4 + c = -10;

D(1; -1); x = 1, y = -1; a * 1^2 - 8 * a * 1 + c = -1;

16a - 32a + c = -10; a - 8a + c = -1;

-16a + c = -10; -7a + c = -1 - выразим из первого уравнения системы с через а;

c = 16a - 10 - подставим во второе уравнение системы вместо с выражение (16а - 10);

-7a + 16a - 10 = -1;

9a - 10 = -1;

9a = -1 + 10;

9a = 9;

a = 9 : 9;

a = 1.

4) Найдем с и b.

с = 16а - 10 = 16 * 1 - 10 = 6;

b = -8a = -8 * 1 = -8.

Ответ. a = 1, b = -8; c = 6.

Answer 2

Ответ:  a=1 , b= -8 , c=6 .

Если парабола   $y=ax^2+bx+c$   имеет вершину в точке   $C(4;-10)$  , то

абсцисса вершины  $x_{v}=-\dfrac{b}{2a}=4\ \ \Rightarrow \ \ \ b=-8a$  ,  а ордината вершины  

$y_{v}=ax^2_{v}+bx_{v}+c\ \ \Rightarrow \ \ \ -10=a\cdot 4^2-8a\cdot 4+c\ \ ,\ \ 16a-c=10$  .

Так как парабола проходит через точку  $D(1;-1)$  , то подставляя координаты этой точки в уравнение параболы , получим верное

равенство   $-1=a+b+c\ \ \Rightarrow \ \ \ a-8a+c=-1\ \ ,\ \ -7a+c=-1$  .

$\left\{\begin{array}{l}16a-c=10\\-7a+c=-1\end{array}\right\ \oplus \ \left\{\begin{array}{l}9a=9\\c=7a-1\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}a=1\\c=6\end{array}\right\ \ \ ,\ \ b=-8a=-8\\\\\\\boxed{\ a=1\ ,\ b=-8\ ,\ c=6\ }\\\\y=x^2-8x+6$