Пусть a и b - корни уравнения x2-x-2022=0. Чему равно a2+b?
a) 2020
б) 2021
в) 2022
г) 2023
д) 2024
Ответы
Ответ:
г) 2023.
Объяснение:
Найти значение выражения a² + b, если a и b корни уравнения
x² - x - 2022 = 0.
По теореме Виета сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену:
x² + px + q = 0; x₁ + x₂ = -p; x₁ · x₂ = q.
1) Применим теорему Виета к нашему уравнению.
x² - x - 2022 = 0.
В нашем случае имеем приведенное квадратное уравнение, так как старший коэффициент равен 1 ( коэффициент при одночлене в наибольшей степени, т.е. при x²).
Известно, что a и b корни данного уравнения.
Тогда:
a + b = 1
a · b = -2022
2) Преобразуем полученные выражения.
Из выражения a + b = 1 следует:
b = 1 - a.
Подставим это значение переменной b во второе уравнение:
a(1 - a) = -2022;
раскроем скобки:
a - a² = -2022 | · (-1);
умножим обе части выражения на (-1), получим равносильное уравнение:
a² - a = 2022.
3) Найдем значение искомого выражения a² + b.
Из выражения a + b = 1 следует:
a = 1 - b.
Подставим это значение переменной a в полученное в п.2 выражение вместо слагаемого a.
a² - (1 - b) = 2022;
раскроем скобки:
a² - 1 + b = 2022;
перенесем (-1) из левой части выражения в правую:
a² + b = 2022 + 1;
a² + b = 2023.
Таким образом, мы нашли значение заданного выражения
a² + b = 2023.
Верный ответ г) 2023.