Question

На доске написан квадратный трёхчлен P(x). Ваня заметил, что

если из P(x) вычесть x2, то получится квадратный трёхчлен, имеющий ровно один действительный корень;
если из P(x) вычесть x, то получится квадратный трёхчлен, имеющий ровно один действительный корень;
если из P(x) вычесть 1, то получится квадратный трёхчлен, имеющий ровно один действительный корень.
Найдите P(16).

Answer 1

Ответ:

31

Пошаговое объяснение:

Дан квадратный трехчлен P(x) = ax^2 + bx + c

Если из P(x) вычесть x2, то получится квадратный трёхчлен:

(a-1)x^2 + bx + c, имеющий ровно один действительный корень;

Если из P(x) вычесть x, то получится квадратный трёхчлен:

ax^2 + (b-1)x + c, имеющий ровно один действительный корень;

Если из P(x) вычесть 1, то получится квадратный трёхчлен:

ax^2 + bx + (c-1), имеющий ровно один действительный корень.

Найдите P(16).

Решение:

Скажу сразу - возможно, это неправильное решение, но ничего лучшего я не придумал.

Если квадратный трехчлен имеет только один действительный корень, то он представляет собой точный квадрат. Значит:

1) P(x) - x^2 = (a-1)x^2 + bx + c = (kx + p)^2 = k^2x^2 + 2kpx + p^2

2) P(x) - x = ax^2 + (b-1)x + c = (mx + n)^2 = m^2x^2 + 2mnx + n^2

3) P(x) - 1 = ax^2 + bx + (c-1) = (qx + r)^2 = q^2x^2 + 2qrx + r^2

Отсюда можно составить такую систему по степеням x:

{ a - 1 = k^2

{ a = m^2

{ a = q^2

{ b = 2kp

{ b - 1 = 2mn

{ b = 2qr

{ c = p^2

{ c = n^2

{ c - 1 = r^2

Во-первых, числа a и c являются квадратами, и одновременно числа (a - 1) и (c - 1) тоже являются квадратами.

Это может быть только в одном случае: a = c = 1.

А вот с коэффициентом b ещё сложнее.

b = 2kp = 2qr - это ещё может быть, например, 12 = 2*1*6 = 2*2*3

Но как тогда b - 1 = 2mn - тоже чётное число? Такого быть не может!

Я придумал один выход:

a = 0, то есть квадратный трехчлен P(x) на самом деле - линейный.

P(x) = 0x^2 + bx + c

Тогда P(x) - x = (b - 1)x + c имеет один корень x = -c/(b - 1)

И P(x) - 1 = bx + (c - 1) тоже имеет один корень x = -(c - 1)/b

Осталось подобрать b и c так, чтобы было:

P(x) - x^2 = -x^2 + bx + c тоже имел один действительный корень.

Ответ очевиден: b = 2; c = -1.

P(x) = 0x^2 + 2x - 1

P(x) - x^2 = -x^2 + 2x - 1 = -(x - 1)^2 имеет один корень x = 1.

P(16) = 0*16^2 + 2*16 - 1 = 0 + 32 - 1 = 31