Question

У ромбі ABCD AB = 8 см, . З вершини B до площини ромба проведено перпендикуляр BK. Площина AKD утворює з площиною ромба кут . Знайдіть:
а) відстань від точки K до площини ромба;

б) площу трикутника AKD.
Помогите пожалуйста

Answer 1

Полное условие:

У ромбі ABCD AB = 8 см, ∠BAD = 45°. З вершини B до площини ромба проведено перпендикуляр BK. Площина AKD утворює з площиною ромба кут 60°. Знайдіть:

а) відстань від точки K до площини ромба;

б) площу трикутника AKD.

Ответ:

а) расстояние от точки К до плоскости ромба равно 4√6 см;

б) площадь треугольника AKD равна 32√2 см².

Объяснение:

а)

КВ⊥(АВС), значит КВ - искомое расстояние от точки К до плоскости ромба.

ВН⊥AD.

ВН - проекция КН на плоскость (АВС), значит КН⊥AD по теореме о трех перпендикулярах.

∠КНВ = 60° - линейный угол двугранного угла между плоскостями (AKD) и (АВС).

ΔАВН:  ∠АНВ = 90°, ∠ВАН = 45°,  ⇒  ∠АВН = 45° и треугольник равнобедренный, тогда

АВ = ВН√2

$BH=\dfrac{AB}{\sqrt{2}}=\dfrac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$ см

ΔКВН:  ∠КВН = 90°

$tg\angle KHB=\dfrac{KB}{BH}$

$KB=BH\cdot tg\angle 60^\circ =4\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=4\sqrt{6}$  см

б)

ΔКНВ:   ∠КВН = 90°

$\cos\angle KHB=\dfrac{BH}{KH}$

$KH=\dfrac{BH}{\cos 60^\circ}=4\sqrt{2}:\dfrac{1}{2}=8\sqrt{2}$ см

Площадь треугольника AKD:

$S_{AKD}=\dfrac{1}{2}AD\cdot KH$

$\boldsymbol{S_{AKD}}=\dfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 8\sqrt{2}\boldsymbol{=32\sqrt{2}}$  см²