Question

Докажите что n^2=1+1+2+2+...+(n-1)+(n-1)+n.

Answer 1

Последовательность правой части можно представить, как $2\cdot(1+2+\ldots+n-1)+n$. Последовательность в скобках представляет собой арифметическую прогрессию из n - 1 членов с разностью 1, первым членом 1 и последним членом n - 1. Тогда сумма этих членов равна $\dfrac{1+n-1}{2}\cdot(n-1)=\dfrac{n(n-1)}{2}$. Правая часть преобразуется в $2\cdot\dfrac{n(n-1)}{2}+n=n(n-1)+n=n^2-n+n=n^2$, что и требовалось доказать.