Question

Помогите решить. Дано комплексное число z. Требуется представить его в
алгебраической, тригонометрической и показательной формах записи.

Answer 1

Ответ:

На картинке. В первом домножаем на сопряжённое.

Answer 2

Ответ:

$z=\dfrac{2i}{\sqrt3+i}\\\\\\a)\ \ z=a+b\, i\\\\\dfrac{2i}{\sqrt3+i}=\dfrac{2i\cdot (\sqrt3-i)}{(\sqrt3+i)(\sqrt3-i)}=\dfrac{2\sqrt3i-2i^2}{3-i^2}=\dfrac{2\sqrt3\, i+2}{4}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt3}{2}\, i\\\\\\z=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt3}{2}\, i\\\\\\b)\ \ z=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt3}{2}\, i\ \ \ \Rightarrow \ \ \ a=\dfrac{1}{2}\ \ ,\ \ b=\dfrac{\sqrt3}{2}\\\\\\r=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}}=\sqrt{1}=1$

$cos\varphi =\dfrac{a}r=\dfrac{1}{2}>0\ \ ,\ \ sin\varphi =\dfrac{b}{r}=\dfrac{\sqrt3}{2}>0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ 1\ chetvert$

$argz=\varphi =\dfrac{\pi }{3}\\\\z=r(cos\varphi +i\, sin\varphi )\ \ ,\ \ \ \ z=cos\dfrac{\pi }{3}+i\, sin\dfrac{\pi }{3}$

$c)\ \ z=r\cdot e^{i\varphi }\ \ ,\ \ \ z=e^{\frac{\pi }{3}\, i}$