Question

Дан треугольник PEF со сторонами РЕ = 3, PF = 5, EF = 7. На продолжении стороны FP за точку Р отложен отрезок РА = 1,5. Найти расстояние d между центрами окружностей, описанных вокруг треугольников ЕРА и EAF. В ответе указать число, равное 2d.

Answer 1

Найдём косинус угла F.
cos F = (5^2+7^2-3^2)/(2*5*7) = 13/14
Квадрат длины стороны AE равен
AE^2 = 7^2 + 6.5^2 - 2*7*6.5*13/14 = 27/4
AE = 3/2 * sqrt(3)
Заметим, что AE^2 + AP^2 = EP^2, треугольник APE - прямоугольный. Центр описанной около APE окружности лежит на середине гипотенузы PE, вокруг EAF - на середине EF.
Отрезок, соединяющий центры окружностей - средняя линия треугольника PEF; 
d = 5/2 = 2.5

2d = 5