Предмет: Математика, автор: lxvchxnko

Найти неизвестные коэффициенты многочлена f(x)=ax³+bx²+c,удовлетворяющего условиям: f(-1)=-1, f(1)=3, f(2)=8.

Ответы

Автор ответа: Veronika724
0

f(x) = ax^3+bx^2+c\\
\\
f(-1) = -1\\
\\
f(1) = 3\\
\\
f(2) = 8

Составляем систему уравнений:

\begin{equation*}
\begin{cases}
a\cdot\left(-1\right)^3 + b\cdot\left(-1\right)^2 + c = -1
\\
a\cdot 1^3 + b\cdot 1^2 + c = 3
\\
a\cdot 2^3 + b\cdot 2^2 + c = 8
\end{cases}
\end{equation*}

Раскрываем скобки, получаем вот такую систему:

\begin{equation*}\begin{cases}-a + b + c = -1\\a + b + c = 3\\8a + 4b + c = 8\end{cases}\end{equation*}

Разобьём данную систему из трёх уравнений на две системы из двух уравнений:

\begin{equation*}\begin{cases}-a + b + c = -1\\a + b + c = 3\end{cases}\end{equation*}

\begin{equation*}\begin{cases}-a + b + c = -1\\8a + 4b + c = 8\end{cases}\end{equation*}

В первой системе складываем верхнее и нижнее уравнения. Получается вот так:

-a + a + b + b + c + c = -1 + 3\\
\\
\boxed{\boldsymbol{2b + 2c = 2}}

Мы избавились от переменной a и получили новое уравнение с двумя переменными. Теперь во второй системе нам тоже нужно избавиться от неё. Чтобы это сделать, умножим верхнее уравнение на 8:

\begin{equation*}\begin{cases}-8a + 8b + 8c = -8\\8a + 4b + c = 8\end{cases}\end{equation*}

И тоже складываем их между собой:

-8a + 8a + 8b + 4b + 8c + c = -8 + 8\\
\\
\boxed{\boldsymbol{12b + 9c = 0}}

Теперь мы имеем 2 уравнения с 2 переменными. Составляем из них новую систему и решаем её.

\begin{equation*}\begin{cases}2b + 2c = 2\\12b + 9c = 0\end{cases}\end{equation*}

Умножим верхнее уравнение на -6:

\begin{equation*}\begin{cases}-12b - 12c = -12\\12b + 9c = 0\end{cases}\end{equation*}

И складываем их между собой:

-12b + 12b - 12c + 9c = -12\\
\\
-3c = -12\\
\\
\boxed{\boldsymbol{c = 4}}

Нашли значение c, теперь подставим его в любое уравнение системы с 2 уравнениями, пускай в верхнее:

2b + 2c = 2\\
\\
2b + 2\cdot 4 = 2\\
\\
2b + 8 = 2\\
\\
2b = -6\\
\\
\boxed{\boldsymbol{b = -3}}

И теперь подставим эти 2 значения в любое из уравнений изначальной системы, пусть во второе:

a + b + c = 3\\
\\
a + (-3) + 4 = 3\\
\\
a - 3 + 4 = 3\\
\\
a + 1 = 3\\
\\
\boxed{\boldsymbol{a = 2}}

Получили три значения, по которым можно восстановить первоначальный вид функции:  f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4 . Теперь можно проверить каждое из условий, чтобы убедиться в правильности найденных значений.

f(-1) = 2\cdot (-1)^3 - 3\cdot (-1)^2 + 4 = -2 - 3 + 4 = -1  - сходится.

f(1) = 2\cdot 1^3 - 3\cdot 1^2 + 4 = 2 - 3 + 4 = 3  - сходится.

f(2) = 2\cdot 2^3 - 3\cdot 2^2 + 4 = 16 - 12 + 4 = 8  - сходится.

Ответ: a = 2;\ b = -3;\ c = 4.

Похожие вопросы
Предмет: Қазақ тiлi, автор: Аноним
Помогите с переводом, пожалуйста. СРОЧНО!!!!
Орынтай жеміс дүкеніне анасымен алма алғалы келді.Анасы қатты шаршағасын кезекке Орынтай тұрды. Кезекте үш адам тұр. Алдыңғысы-әжей, онан кейінгісі-он жасар Орынтай, оның соңында -бір әйел адам.
Биіктігі белден асатын тақтай қоршаудың арғы жағындағы дүкенші әйел алма өлшеп жатты. Бір алма таразы табақшасынан сатып алушылар жақа домалап түсіп кетті. Алма болғанда қандай! Әрбіреуі қос жұдырықтай. Дүкенші әйел ең жасы осы ғой дегендей Орынтайға қарап:
-Қарғам , түскен алманы әперіп жіберші деді.
Орынтай естімеген кісідей бедірейіп тұра берді. Алманы одаен кейінгі әйел әперді.
Әжей кетіп , кезек Орынтайға келгенде , ол үш килограмм алма өлшетті . Соны дорбасына асығыс сала бастағанда , байқамай қолының сыртымен қағып жіберіп , екі алма дүкенші жаққа домалап түсіп кеткені. Дүкенші әйел ештеңеге мән бермегендей , әйелге алма өлшеуге кірісті.
Орынтай қипақтап сәл тұрған соң:
апай , сіз жаққа домалап түскен екі алманы әперіңізші деп өтінді.
Сол бар екен-ау. Қазір , қазір. Мен тілазар емеспін , тілалғышпын ,- деп дүкенші әйел едендегі екі алманы еңкейіп алып, орынтайдың алдына қойды .Қызарап кеткен Орынтай алғысты даустып айтұға да ұялғандай , рақмет деген сөзді естілер-естілмес қана міңгірледі . Мұның қылығына анасы қатты ұялды