Question

Найти неизвестные коэффициенты многочлена f(x)=ax³+bx²+c,удовлетворяющего условиям: f(-1)=-1, f(1)=3, f(2)=8.

Answer 1

$f(x) = ax^3+bx^2+c\\ \\ f(-1) = -1\\ \\ f(1) = 3\\ \\ f(2) = 8$

Составляем систему уравнений:

$\begin{equation*} \begin{cases} a\cdot\left(-1\right)^3 + b\cdot\left(-1\right)^2 + c = -1 \\ a\cdot 1^3 + b\cdot 1^2 + c = 3 \\ a\cdot 2^3 + b\cdot 2^2 + c = 8 \end{cases} \end{equation*}$

Раскрываем скобки, получаем вот такую систему:

$\begin{equation*}\begin{cases}-a + b + c = -1\\a + b + c = 3\\8a + 4b + c = 8\end{cases}\end{equation*}$

Разобьём данную систему из трёх уравнений на две системы из двух уравнений:

$\begin{equation*}\begin{cases}-a + b + c = -1\\a + b + c = 3\end{cases}\end{equation*}$

$\begin{equation*}\begin{cases}-a + b + c = -1\\8a + 4b + c = 8\end{cases}\end{equation*}$

В первой системе складываем верхнее и нижнее уравнения. Получается вот так:

$-a + a + b + b + c + c = -1 + 3\\ \\ \boxed{\boldsymbol{2b + 2c = 2}}$

Мы избавились от переменной $a$ и получили новое уравнение с двумя переменными. Теперь во второй системе нам тоже нужно избавиться от неё. Чтобы это сделать, умножим верхнее уравнение на 8:

$\begin{equation*}\begin{cases}-8a + 8b + 8c = -8\\8a + 4b + c = 8\end{cases}\end{equation*}$

И тоже складываем их между собой:

$-8a + 8a + 8b + 4b + 8c + c = -8 + 8\\ \\ \boxed{\boldsymbol{12b + 9c = 0}}$

Теперь мы имеем 2 уравнения с 2 переменными. Составляем из них новую систему и решаем её.

$\begin{equation*}\begin{cases}2b + 2c = 2\\12b + 9c = 0\end{cases}\end{equation*}$

Умножим верхнее уравнение на -6:

$\begin{equation*}\begin{cases}-12b - 12c = -12\\12b + 9c = 0\end{cases}\end{equation*}$

И складываем их между собой:

$-12b + 12b - 12c + 9c = -12\\ \\ -3c = -12\\ \\ \boxed{\boldsymbol{c = 4}}$

Нашли значение $c$, теперь подставим его в любое уравнение системы с 2 уравнениями, пускай в верхнее:

$2b + 2c = 2\\ \\ 2b + 2\cdot 4 = 2\\ \\ 2b + 8 = 2\\ \\ 2b = -6\\ \\ \boxed{\boldsymbol{b = -3}}$

И теперь подставим эти 2 значения в любое из уравнений изначальной системы, пусть во второе:

$a + b + c = 3\\ \\ a + (-3) + 4 = 3\\ \\ a - 3 + 4 = 3\\ \\ a + 1 = 3\\ \\ \boxed{\boldsymbol{a = 2}}$

Получили три значения, по которым можно восстановить первоначальный вид функции:  $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4$ . Теперь можно проверить каждое из условий, чтобы убедиться в правильности найденных значений.

$f(-1) = 2\cdot (-1)^3 - 3\cdot (-1)^2 + 4 = -2 - 3 + 4 = -1$  - сходится.

$f(1) = 2\cdot 1^3 - 3\cdot 1^2 + 4 = 2 - 3 + 4 = 3$  - сходится.

$f(2) = 2\cdot 2^3 - 3\cdot 2^2 + 4 = 16 - 12 + 4 = 8$  - сходится.

Ответ: $a = 2;\ b = -3;\ c = 4$.