Question

Помогите доказать неравенство :
Дано x,y,z >= 2;
Доказать :
(x³+y)(y³+z)(z³+x) >= 125xyz

Answer 1

Без ограничения общности положим $x\geq y\geq z$. Пусть $z\geq 3$, тогда $(xyz)^2\geq 27^2>125$ и $(x^3+y)(y^3+z)(z^3+x)>x^3y^3z^3 = (xyz)^2xyz>125xyz$.

Пусть теперь $z=2$. Тогда имеем $(x^3+y)(y^3+2)(x+8)\geq 250xy$. Если $y\geq 3$, то $(x^3+y)(y^3+2)(x+8)>x^4y^3+8x^3y^3 = (x^2y^2(x+8))xy > 81\cdot 11xy > 250xy$.

Пусть $y=2$. Тогда если $x\geq 3$, то $(x^3+2)(x+8)\cdot 10 > 10x^4+8x^3 = 10(x^3+8x^2)x \geq 990x>500x$. Наконец, при $x=2$: $10\cdot 10\cdot 10 = 1000 = 125\cdot 2\cdot 2\cdot 2$.