Question

Окружность, проходящая через вершины А и С треугольника АВС, пересекает его стороны АВ и ВС соответственно в точках М и К. Известно, что AM : BM = 3 : 1, BK : CK = 1 : 8. Найдите АК : СM.

Answer 1

Поскольку $AK = 2R\sin \angle C$ и $CM = 2R\sin \angle A$, то $AK:CM = \dfrac{\sin \angle C}{\sin \angle A}$.

Поскольку $\angle A = 180^{\circ}-\angle MKC = \angle MKB$ и $\angle C = 180^{\circ}- \angle AMK = \angle KMB$, то $AK:CM = \dfrac{\sin \angle C}{\sin \angle A} = \dfrac{\sin \angle KMB}{\sin \angle MKB} = \dfrac{KB}{MB}$, что следует из теоремы синусов для треугольника $MKB$. С другой стороны, $BM\cdot BA = BK\cdot BC$ (этот инвариант называется степенью точки $B$, а равенство устанавливается из подобия $\triangle MBK \sim \triangle ABC$ по двум указанным выше углам), следовательно, $BM\cdot\underbrace{4BM}_{BA = BM+MA = BM+3BM} = BK\cdot \underbrace{9BK}_{BC = BK+KC = BK+8BK}$, откуда $4BM^2 = 9BK^2 \Rightarrow \dfrac{KB}{MB} = 2/3$, то есть $AK:CM = 2:3$.