Question

ДАЮ 80 БАЛОВ РЕШИТЕ ПЖ
При каких значениях p уравнение
$p \times 9 ^{x} - 4 \times {3}^{x} + 1 = 0$

имеет единственное решение?​​

Answer 1

$p \cdot 9 ^{x} - 4 \cdot 3^x + 1 = 0$

$p \cdot (3 ^x )^2- 4 \cdot 3^x + 1 = 0$

Замена: $3^x=y>0$

Получим уравнение:

$py^2- 4y + 1 = 0$

Если $p=0$, то:

$- 4y + 1 = 0$

$- 4y =-1$

$y=\dfrac{1}{4}$

$\Rightarrow 3^x=\dfrac{1}{4} \Rightarrow x=\log_3\dfrac{1}{4}$

Значит, при $\boxed{p=0}$ уравнение имеет единственное решение.

Если $p\neq 0$, то уравнение квадратное:

$py^2- 4y + 1 = 0$

$D_1=(-2)^2-p\cdot1=4-p$

Если $D_1<0$, то есть $4-p<0$ или $p>4$, то уравнение не имеет корней.

Если $D_1=0$, то есть $4-p=0$ или $p=4$, то уравнение имеет 1 корень.

$y=\dfrac{2}{y} =\dfrac{2}{4} =\dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow 3^x=\dfrac{1}{2} \Rightarrow x=\log_3\dfrac{1}{2}$

Значит, при $\boxed{p=4}$ уравнение имеет единственное решение.

Если $D_1>0$, то есть $4-p>0$ или $p<4$, то квадратное уравнение имеет 2 корня.

Но так как по условию нас интересуют случаи с единственным решением исходного уравнения, то в случае, когда уравнение относительно $y$ имеет два корня один из них должен не удовлетворять условию $y>0$. Учитывая. что число 0 не является корнем квадратного уравнения, можно сказать, что оно должно иметь корни разных знаков.

$py^2- 4y + 1 = 0$

$y^2- \dfrac{4}{p} y +\dfrac{1}{p} = 0$

Если уравнение имеет корни разных знаков, то их произведение отрицательно. Используя теорему Виета, запишем:

$\dfrac{1}{p} <0$

$\boxed{p <0}$

Выписываем все найденные значения $p$, при которых исходное уравнение имеет единственное решение:

$p\in(-\infty;\ 0]\cup\{4\}$

Ответ: $p\in(-\infty;\ 0]\cup\{4\}$