Question

В треугольнике ABC сторона AB вдвое длиннее стороны BC. Найдите, в каком
отношении медианы, проведённые из вершин A и C, делят биссектрису угла B.

Answer 1

Ответ:

ВТ : ТО : ОМ = 12 : 3 : 5

Пошаговое объяснение:

ВМ - биссектриса угла В.

АЕ и СК - медианы.

АЕ∩ВМ = Т

СК∩ВМ = О

Найти отношение ВТ : ТО : ОМ.

• Биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

$\dfrac{AM}{MC}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{2}{1}$

Рассмотрим ΔМВС и секущую АЕ. По теореме Менелая:

$\dfrac{BE}{EC}\cdot \dfrac{CA}{AM}\cdot \dfrac{MT}{TB}=1$

$\dfrac{1}{1}\cdot \dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{MT}{TB}=1$

$\dfrac{MT}{TB}=\dfrac{2}{3}$

$MT=\dfrac{2}{5}BM$

$\boldsymbol{TB=\dfrac{3}{5}BM}$

Рассмотрим ΔАВМ и секущую СК. По теореме Менелая:

$\dfrac{AK}{KB}\cdot \dfrac{BO}{OM}\cdot \dfrac{MC}{CA}=1$

$\dfrac{1}{1}\cdot \dfrac{BO}{OM}\cdot \dfrac{1}{3}=1$

$\dfrac{BO}{OM}=\dfrac{3}{1}$

$BO=\dfrac{3}{4}BM$

$\boldsymbol{OM=\dfrac{1}{4}BM}$

$\boldsymbol{TO}=BO-TB=\dfrac{3}{4}BM-\dfrac{3}{5}BM=\dfrac{15}{20}BM-\dfrac{12}{20}BM\boldsymbol{=\dfrac{3}{20}BM}$

Итак, нашли, какую часть каждый из отрезков ВТ, ТО и ОМ составляет от биссектрисы ВМ.

Осталось привести дроби к общему знаменателю.

$\boldsymbol{TB}=\dfrac{3}{5}BM=\boldsymbol{\dfrac{12}{20}BM}$

$\boldsymbol{OM}=\dfrac{1}{4}BM=\boldsymbol{\dfrac{5}{20}BM}$

ВТ : ТО : ОМ = 12 : 3 : 5