Question

${ x}^{ log \frac{1}{3} (x) } = \frac{1}{81}$
С подробным решением!​

Answer 1

Ответ:

$x^{log_{\frac{1}{3}}\, x}=\dfrac{1}{81}\ \ ,\ \ \ \ \ \ \ ODZ:\ x>0\ ,$

Прологарифмируем обе части равенства .

$log_{\frac{1}{3}}\Big(x^{log_{\frac{1}{3}}\, x}\Big)=log_{\frac{1}{3}}\dfrac{1}{81}\ \ ,\\\\\\log_{\frac{1}{3}}\, x\cdot log_{\frac{1}{3}}\, x=log_{\frac{1}{3}}\, \Big(\frac{1}{3}\Big)^{4}\\\\\\\Big(log_{\frac{1}{3}}\, x\Big)^2=4\ \ ,\ \ \Big(log_{\frac{1}{3}}\, x-2\Big)\Big(log_{\frac{1}{3}}\, x+2\Big)=0\ \ \ \Rightarrow \\\\\\a)\ \ log_{\frac{1}{3}}\, x-2=0\ \ ,\ \ log_{\frac{1}{3}}\, x=2\ \ ,\ \ x=\Big(\dfrac{1}{3}\Big)^2\ \ ,\ \ x=\dfrac{1}{9}$

$b)\ \ log_{\frac{1}{3}}\, x+2=0\ \ ,\ \ log_{\frac{1}{3}}x=-2\ \ ,\ \ \ x=\Big(\dfrac{1}{3}\Big)^{-2}\ \ ,\ \ x=3^2\ \ ,\ \ x=9\\\\\\Otvet:\ \ x=\dfrac{1}{9}\ \ ,\ \ x=9\ .$

Формулы:

$log_{a}x^{k}=k\cdot log_{a}\, x\ \ ;\ \ \ log_{a}\, x=b\ \ \to \ \ x=a^{b}\ \ ;\\\\a^2-b^2=(a-b)(a+b)$