Question

докажите что при всех натуральных значениях n значение выражения 5*7^(2n+1)+13*25^n кратно 24 ​

Answer 1

Первый способ: $5\cdot 7^{2n+1} + 13\cdot 25^{n} \equiv5\cdot49^{n}\cdot 7+13\cdot 1^{n} \equiv 5\cdot 7+13 = 48\equiv 0 \mod 24$.

Второй способ:

Используем метод математической индукции. База индукции: $n=1$ -- $5\cdot 7^{3}+13\cdot 25 = 5(7^3+65) = 5\cdot 408 \equiv 0 \mod 24$. Шаг индукции: пусть выражение делится на $7$ при некотором $n$, тогда $5\cdot 7^{2n+3} + 13\cdot25^{n+1} = 5\cdot 7^{2n+1}\underbrace{(49-1)}_{24\cdot 2}+5\cdot 7^{2n+1} + 13\cdot 25^{n}\underbrace{(25-1)}_{24}+13\cdot 25^{n}$, что делится на $24$.