Question

Диагональ параллелограмма равна его стороне. Найдите площадь параллелограмма, если одна из его сторон равна 14 см, а один из углов равен 60
ПОЖАЛУЙСТА С КАРТИНКОЙ .И РЕШАТЬ БЕЗ СИНУСОВ И КОСИНУСОВ(ЕСЛИ МОЖНО ТО РЕШАТЬ ПО ПРОГРАММЕ 8 КЛАССА)

Answer 1

Ответ:

Площадь параллелограмма равна $\displaystyle 98\sqrt{3}$ см².

Объяснение:

Требуется найти площадь параллелограмма по известным данным.

Дано: ABCD параллелограмм, AB = 14 см, диагональ равна стороне, ∠A = 60°.

Найти: S.

Решение.

1) Покажем, что большая диагональ параллелограмма не может быть равна стороне.

В параллелограмме против большего угла лежит большая диагональ.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма равна 180° (как односторонние углы при параллельных прямых и секущей).

Тогда один из этих углов острый, а другой - тупой.

Большая диагональ параллелограмма лежит против тупого угла.

Если большая диагональ параллелограмма равна его стороне, то получается равнобедренный треугольник с двумя равными углами при основании, которые являются тупыми. Чего не может быть.

Следовательно, в нашей задаче меньшая диагональ равна стороне параллелограмма.

2) По данным в задаче.

В параллелограмме ABCD  ∠A = 60°, диагональ BD равна стороне AB:  

BD =  AB = 14 см.

ΔABD равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

∠ADB = 60°.

Из суммы углов треугольника следует, что ∠ABD = 60°, тогда треугольник равносторонний, сторона AD = 14 см.

(То есть параллелограмм является ромбом).

3) На этом этапе уже можно найти площадь параллелограмма ABCD, но так как просят решить задачу без применения синуса угла (и других тригонометрических функций), найдем ее другим способом.

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

Найдем высоту параллелограмма.

Проведем в ΔABD высоту BH.

В равнобедренном треугольнике высота является и медианой.  

Тогда AH = 14 см : 2 = 7 см.

Из прямоугольногоΔABH (∠AHB = 90°) найдем катет BH.

$\displaystyle BH^{2} = AB^{2} - AH^{2}=14^{2} - 7^{2} = 196-49= 147 = 49 \cdot 3.\\\\BH = \sqrt{49 \cdot 3} = 7\sqrt{3}.$

Высота параллелограмма $\displaystyle BH = 7\sqrt{3}$ см.

4) Зная высоту BH и основание AD параллелограмма, найдем его площадь.

$\displaystyle S_{ABCD} = AD \cdot BH = 14 \cdot 7\sqrt{3} = 98\sqrt{3} \;(cm^{2}).$

Площадь параллелограмма равна $\displaystyle 98\sqrt{3}$ см².