Question

докажите, что функция y=-x^2-16x+3 возрастает на промежутке (-бесконечность;-8] и убывает на промежутке [-8;+бесконечность)​

Answer 1

Ответ: доказано

Объяснение:

если через производную, то она равна -2х-16, находим критическую точку -2х-16=0, х=8

с помощью неравенства 2х-16≥0 устанавливаем знак производной  при переходе через критическую точку

____________-8_________

+                                 -

значит, функция возрастает на промежутке (-∞;-8] и убывает на промежутке [-8;+∞)​

Кстати, этот же результат получим, решив вторым способом.

вершина параболы имеет абсциссу х₀=-b/2a=16/(-2)=-8, т.к. ее ветви направлены вниз, то функция возрастает на промежутке (-∞;-8] и убывает на промежутке [-8;+∞)​

Answer 2

Возьмем две точки $x_1$, $x_2$, причем $x_1<x_2$.

Им соответствуют значения функции $y_1=-x_1^2-16x_1+3$ и $y_2=-x_2^2-16x_2+3$.

Сравним значения функций в данных точках. Для этого достаточно посмотреть на знак их разности $y_2-y_1$: если он положительный, то $y_2>y_1$; если равен нулю, то значения равны; иначе $y_1<y_2$.

$y_2-y_1=(-x_2^2-16x_2+3)-(-x_1^2-16x_1+3)=\\=(x_1^2-x_2^2)+16(x_1-x_2)=(x_1+x_2)(x_1-x_2)+16(x_1-x_2)=\\=(x_1+x_2+16)(x_1-x_2)$

По предположению, $x_1<x_2$, поэтому вторая скобка отрицательна.

• Если  $x_1<x_2\leqslant-8$, то сумма $x_1+x_2$ меньше -16, тогда первая скобка тоже отрицательна, а всё произведение положительно и $y_2>y_1.$ Получили, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции, тогда на отрезке $(-\infty,-8]$ функция возрастает.
• Аналогично, для $-8\leqslant x_1<x_2$ произведение отрицательно. Здесь большему значению аргумента соответствует меньшее значение значение функции, по определению это значит, что функция убывает.