Question

Помогите плз! Дам 30 баллов

Answer 1

Ответ:

$\approx {2.7}$

Объяснение:

Дано:

$\cos{x} = \frac{4}{13} ; \: \: \: x \in \big(\tfrac{3\pi}{2};2\pi\big)$

Найти:

$\sin\frac{x}{2} + \cos\frac{x}{2} + 2.9$

Решение:

Есть несколько ммм... стилей решения. Я пожалуй, предпочту наиболее наглядный, на мой взгляд.

Разделим решение на этапы.

a) Определим, в каких пределах лежит угол х/2 и какие у него значения синуса и косинуса:

$x \in \big(\tfrac{3\pi}{2};2\pi\big) = > \frac{x}{2} \in \big(\tfrac{3\pi}{4};\pi\big) = > \\ \: = > \left[ \begin{array} {l} \sin\frac{x}{2} > 0 ; \: \: \\ \cos\frac{x}{2} < 0 \end{array} \right.$

b) Сделаем замену, с ней, на мой взгляд, проще:

$\frac{x}{2} = a \: = > \: x = 2a ;\;\sin\frac{x}{2} {=}\sin a ;\: \\ \cos{x}{ =} \cos2a = \cos ^{2} {a} - \sin^{2}{a} = 1 - 2 \sin^{2}{a}$

c) Т.к. известен косинус 2a, а также знаки при синусе и косинусе угла a, вычисляем:

$\cos{x}{ =} \cos2a = \frac{4}{13} =>\:1 - 2 \sin^{2}{a}= \frac{4}{13}$

d) Решаем уравнение

$\frac{4}{13} = 1 - 2 \sin^{2}{a} \\ 2 \sin^{2}{a} = 1 - \frac{4}{13} = \frac{9}{13} \\ \sin^{2}{a} = \frac{9}{13 \cdot2} = \frac{9}{26} \\ | \sin{a} | = \sqrt{ \frac{9}{26} } = \frac{3}{ \sqrt{26 \: } }$

e) Находим sin(a) cos(a), с учетом знаков + или -:

$\sin{a} = \sin\frac{x}{2} > 0 ; \: \: \cos{a} = \cos\frac{x}{2} < 0 \\ = > \: \sin{a} = \frac{3}{ \sqrt{26} } ; \: \: \cos{a} = - \sqrt{ {1 - \tfrac{9}{26}}} = - \sqrt{ \tfrac{17}{26} }$

Округляем до десятых:

$\frac{3}{ \sqrt{26}} \approx0.6 \\ \:- \frac{ \sqrt{17} }{ \sqrt{26}} \approx-0.8$

Вычисляем:

$\sin\frac{x}{2} + \cos\frac{x}{2} + 2.9 = \frac{3}{ \sqrt{26}} + (-\frac{ \sqrt{17} }{ \sqrt{26}}) + 2.9 \approx \\ \approx0.6 - 0.8 + 2.9 = 2.7$

получили ответ: ≈ 2.7