10 класс. Теорема о параллельных прямых в пространстве.
Мне не срочно. Есть теорема, "через любую точку в пространстве, не лежащую на данной прямой, проходит одна прямая...", по данной теме я буду отвечать. Я буду очень рад, если Вы поможете с записью условий (Дано:, Как изобразить действие, доказательство). Хотелось бы увидеть полный, развернутый ответ с фотографией. Заранее спасибо.
Ответы
Дано: прямая а, т. М∉а
Доказать: существует единственная прямая b||a, M∈b
Доказательство:
Через прямую а и точку, не лежащую на ней, можно провести единственную плоскость α (Рис.). В плоскости α можно провести единственную прямую b, параллельную а, проходящую через точку M (из аксиомы планиметрии о параллельных прямых). Существование такой прямой доказано.
Докажем единственность такой прямой. Предположим, что существует другая прямая с, проходящая через точку M и параллельная прямой а. Пусть параллельные прямые а и с лежат в плоскости β. Тогда плоскость β проходит через точку M и прямую а. Но через точку M и прямую а проходит единственная плоскость (в силу теоремы 1). Значит, плоскости β и α совпадают. Из аксиомы параллельных прямых, следует, что прямые b и с совпадают, так как в плоскости существует единственная прямая, проходящая через данную точку и параллельная заданной прямой. Единственность доказана.
Я сначала, конечно, подумал воспользоваться теорией неэлементарной школьной геометрии, а аналитической, но так как программа десятого класса не нацелена на глубокое понимание основ взаимного расположения прямых в пространстве, то было решено ограничиться понятным для учащихся среднего общего образования языком:)
